As duas palavras têm significados muito parecidos no entanto são utilizadas em contextos diferentes. Continuidade refere-se à extensão de um acontecimento enquanto Continuação refere-se à duração de algo.
CONTINUIDADE
qualidade do que é contínuo
ligação não interrompida
extensão de um acontecimento
repetição incessante
nome feminino
ETIMOLOGIA
Do latim continuitāte: prolongação, extenção
FONÉTICA
con·ti·nu·i·da·de
sotaque de São Paulo: kõ.tʃi.nwi.dˈa.dʒi
sotaque de Lisboa: kõ.ti.nwi.dˈa.dɨ
EXEMPLOS
“Deve-se permitir dar continuidade ao governo.”
“A continuidade dos movimentos da bailarina.”
CONTINUAÇÃO
ato de continuar
prosseguimento, sequência
duração, prolongamento
nome feminino
ETIMOLOGIA
Do latim continuātiōne:continuação
FONÉTICA
con·ti·nu·a·ção
sotaque de São Paulo: kõ.tʃi.nwa.sˈə̃w
sotaque de Lisboa: kõ.ti.nwɐ.sˈɐ̃w
EXEMPLOS
“A continuação dos trabalhos mantém-se até nova ordem. ”
“Os professores optaram pela continuação da greve.”
Palavra do Dia 
“Extençao” é complicado né pessoal?
Extenção assim como estensão ou estenção são formas incorretas. O correto é extensão.
O correto, em uma palestra, ou apresentação é dizer em continuação ou em continuidade ?
Trabalho com atendimento e damos sequência à ocorrências não tratadas ou que não tenham deixado o reclamante satisfeito, nestes casos, devo usar: em continuidade à ocorrência anteriormente registrada ou em continuação à ocorrência anteriormente registrada? Costumo usar em continuidade…
ATACADAO: excelente mercado para compras . Porém precisa 9de continuar e abrir novos em mais cidades….